命題４７
「直角三角形で、直角に対する辺上の正方形は直角にはさまれている辺上の正方形の和と等しい。」
直角ＢＡＣをもつ直角三角形をＡＢＣとせよ。
ＢＣ上の正方形はＢＡ、ＡＣ上の正方形と等しいことをいう。
ＢＣ上に正方形ＢＤＥＣ、ＢＡとＡＣ上に正方形ＧＢとＨＣをかきなさい。命題Ⅰ．46
点Ａを通り、ＢＤ、ＣＥのどちらかと平行なＡＬをひき、ＡＤとＦＣを結びなさい。
角ＢＡＣとＢＡＧのそれぞれは直角で、線分ＢＡをもち、その上の点Ａにおいて、同じ側にない２線分ＡＣ、ＡＧは２直角と互いに等しい接角をつくるので、ＣＡはＡＧをもつ直線にある。命題Ⅰ．14
同様の理由でＢＡもＡＨをもつ直線にある。
角ＤＢＣと角ＦＢＡはおのおのが直角であるため等しいので、おのおのに角ＡＢＣを加えなさい。それゆえ、角ＤＢＡ全体は角ＦＢＣ全体と等しい。共通概念Ⅰ．２
ＤＢはＢＣと等しく、ＦＢはＢＡと等しいので、２辺ＡＢ、ＢＤは２辺ＦＢ、ＢＣとそれぞれ等しく、角ＡＢＤは角ＦＢＣと等しい。それゆえ、底辺ＡＤは底辺ＦＣと等しく、三角形ＡＢＤは三角形ＦＢＣと等しい。命題Ⅰ．４
いま、平行四辺形ＢＬは三角形ＡＢＤの２倍である。なぜなら、それらは同じ底辺ＢＤをもち同じ平行線ＢＤ、ＡＬの間にある。そして、正方形ＧＢは三角形ＦＢＣの２倍である。なぜなら、それらはまた同じ底辺ＦＢをもち同じ平行線ＦＢ、ＧＣの間にある。命題Ⅰ．41
それゆえ、平行四辺形ＢＬも正方形ＧＢと等しい。
同様にして、ＡＥとＢＫが結ばれるならば、平行四辺形ＣＬも正方形ＨＣと等しいことを証明することができる。それゆえ、正方形ＢＤＥＣ全体は２つの正方形ＧＢ、ＨＣの和と等しい。
そして、正方形ＢＤＥＣはＢＣ上にかかれ、正方形ＧＢ、ＨＣはＢＡ、ＡＣ上にかかれている。
それゆえ、ＢＣ上の正方形はＢＡ、ＡＣ上の正方形の和と等しい。
それゆえ、直角三角形で、直角に対する辺上の正方形は直角にはさまれている辺上の正方形の和と等しい。共通概念Ⅰ．２
証明終了